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25 avril 2012 3 25 /04 /avril /2012 22:05

La difficulté des théorèmes (en mathématiques par exemple) est que ce ne sont pas des objets mais des procès (des processus, des actions, des choses diachrones...).

Un théorème transforme un objet en un autre objet, permet de passer d'un état (initial, ou numéro 1, ou A) à un autre (final, ou numéro 2, ou B).

Celui de Pythagore par exemple transforme un triangle rectangle en une somme de longueurs.

 

Une difficulté dans la présentation des théorèmes est que souvent les deux états qu'il sépare sont représentés sur la même figure.

Comme si on jouait deux notes de musique en même temps pour faire un accord.

Alors que le théorème invite à jouer une mélodie : une note, puis une autre.

On peut alors imaginer qu'il y a des théorèmes qui permettent de jouer une octave, une quinte, une quarte, etc.

Combinés ensemble ils permettent de jouer la musique de notre choix...

 

 

Travailler un théorème, et le comprendre dans une certaine mesure, c'est préciser entre quels états il se situe (éclairage spatial), ou quel état il transforme en quel autre (éclairage temporel).

 

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Published by F.C. Rava-Reny - dans Applications
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commentaires

renee 26/04/2012 14:33


Bonjour,





lectrice de votre
blog, (et professeur de mathématiques), 


je me dois
d'apporter une correction capitale à la phrase


"Celui de Pythagore par exemple transforme un triangle rectangle en une somme de
longueurs" qui apparait dans l'article Le Théorème, 


et qui en est
une formulation fort erronée.





Le fameux "a
carré plus b carré vaut c carré" ( a2 + b2 = c2) dont nous nous souvenons tous plus ou moins, même si cette expression n'est pas très porteuse de sens et qui s'applique effectivement à un
triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit se nomment a et b et l'hypoténuse c (ou côté opposé à l'angle droit), ne transforme pas un triangle rectangle, comme l'article l'indique!


Un théorème
"transforme" ou plus précisément établit une relation entre des éléments ou objets mathématiques en géométrie par exemple les 3 côtés d'un triangle rectangle comme dans ce
théorème.


D'un coté de
l'égalité, a2 + b2 qui signifie l'aire ou superficie du carré construit sur le côté a, auquel on ajoute la valeur de l'aire du carré construit sur le côté b VAUT AUTANT QUE ou A LA MEME VALEUR
(de l'autre côté de l'égalité)que la superficie du carré construit sur l'hypoténuse (côté face à l'angle droit). Il s'agit donc d'une relation entre plutôt que d'une
transformation.





Une belle
illustration vous donnera une image mentale à cet énoncé en consultant le site


http://www.telelearning-pds.org/copains/math/pythagore/pythagore.html





Renée

gestionmentale.over-blog.fr 27/04/2012 14:35



Merci Renée de votre précieux commentaire.


Au risque de vous choquer, vous avez raison ET moi aussi. Il peut sembler choquant que deux personnes soutenant des points de vues contradictoires aient raison. Cela nous choque parce que nous
pensons habituellement avec la logique aristotélicienne du tiers-exclu : c'est ceci ou cela mais pas ceci ET cela.


Vous présentez le théorème comme établissant une relation, je le présente comme effectuant une transformation. C'est un point de vue temporel et un point de vue spatial (ou le contraire, peu
importe ici).
Nous pouvons comprendre les choses dans l'espace (nous voyons alors un objet), ou dans le temps (nous voyons alors un procès). Un théorème, même s'il est un
procès par rapport aux objets mathématiques, peut être considéré spatialement ou temporellement.
Soit vous considérez que les éléments auxquels il a trait sont préexistants (coexistence, synchronie, accord donc espace), et dans ce cas le théorème établit une relation entre
ces éléments toujours là sans lui.
Soit vous considérerz que les éléments auxquels il a trait ne sont pas tous préexistants, certains sont là au début et les autres seulement à la fin (non coexistence, diachronie, mélodie donc
temps), et dans ce cas le théorème transforme un élément en un autre.


Nous pourrions avoir la même interrogation sur une fonction : établit-elle une relation entre x et y ou transforme-t-elle x en y ?...
Ce sont deux évocations différentes de la même chose et qui ne dénature pas la chose. Nous la considérons seulement sous son versant spatial ou temporel.


Mais bon, dans l'histoire des sciences, et des mathématiques en particulier, Newton et Leibniz se sont fâchés sur ce point là comme le rappelle Antoine de La Garanderie. Si deux grands génies des
maths se sont querellés à ce sujet, c'est que la question ne doit pas être si facile.


Si nous recherchons encore plus en profondeur, nous trouverons que le temps (mental) complémentaire de l'espace (mental) s'offre aussi avec une bipolarité : il peut être en
conscience vécu horizontalement comme une transformation ou verticalement comme une comparaison (établissement d'une relation entre deux espaces concomittants...).


Je maintiens donc la présentation d'un théorème comme une transformation, et par expérience, je sais que cela est très utile d'être montré sous cet angle pour de nombreux élèves.


Quant à la question des surfaces, il en est surtout question dans la démonstration du théorème (quelle que ce soit ses variantes). Les élèves n'utilisent presque jamais le théorème de Pythagore
pour calculer des surfaces, mais presque toujours pour calculer une des trois longueurs du triangle, connaissant les deux autres (et les longueurs sont des nombres).
Je ne vous rejoins donc pas sur ce point.


Le plus important en tout cas est de saisir qu'un théorème est du temps, peu importe in fine si vous le considérez comme une transformation ou une mise en relation. Et
que c'est un temps avec deux espaces. Et pour le théorème de Pythagore, l'un au moins de ces espaces est un triangle rectangle ; l'autre pour vous des surfaces et pour moi des longueurs.


Frédéric



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